解（1）：∵△CBD≌△C′BD，

∴∠CBD=∠C′BD=15°，C′B=CB=2，

∴∠CBC′=30°，

如图1，作C′H⊥BC于H，则C′H=1，HB=，

∴CH=2﹣，

∴点C′的坐标为：（2﹣，1）；

（2）如图2，

∵A（2，0），k=﹣，

∴代入直线AF的解析式为：y=﹣x+b，

∴b=，

则直线AF的解析式为：y=﹣x+，

∴∠OAF=30°，∠BAF=60°，

∵在点D由C到O的运动过程中，BC′扫过的图形是扇形，

∴当D与O重合时，点C′与A重合，

且BC′扫过的图形与△OAF重合部分是弓形，

当C′在直线y=﹣x+上时，BC′=BC=AB，

∴△ABC′是等边三角形，这时∠ABC′=60°，

∴重叠部分的面积是：﹣×2²=π﹣；

（3）如图3，设OO′与DE交于点M，则O′M=OM，OO′⊥DE，

若△DO′E与△COO′相似，则△COO′必是Rt△，

在点D由C到O的运动过程中，△COO′中显然只能∠CO′O=90°，

∴CO′∥DE，

∴CD=OD=1，

∴b=1，

连接BE，由轴对称性可知C′D=CD，BC′=BC=BA，

∠BC′E=∠BCD=∠BAE=90°，

在Rt△BAE和Rt△BC′E中

∵，

∴Rt△BAE≌Rt△BC′E（HL），

∴AE=C′E，

∴DE=DC′+C′E=DC+AE，

设OE=x，则AE=2﹣x，

∴DE=DC+AE=3﹣x，

由勾股定理得：x²+1=（3﹣x）²，

解得：x=，

∵D（0，1），E（，0），

∴k+1=0，

解得：k=﹣，

∴存在点D，使△DO′E与△COO′相似，这时k=﹣，b=1．

正确解答该题的关键在于，善用辅助线，数形结合，利用图中的特殊图形及其关系解题.